20 problèmes mathématiques que personne n'a encore réussi à résoudre par GPT 5
20 problèmes mathématiques que personne n'a encore réussi à résoudre par GPT 5
20 problèmes mathématiques que personne n'a encore réussi à résoudre
Mathématiques • Défis ouverts • Récompenses
20 problèmes que l'humanité n'a toujours pas résolus.
Nous savons envoyer des sondes dans l'espace, manipuler des atomes et construire
des ordinateurs capables d'effectuer des milliards d'opérations par seconde.
Pourtant, certaines questions mathématiques parfois extrêmement simples à énoncer
résistent encore à tous les mathématiciens du monde.
Certaines ont même une récompense officielle :
1 000 000 de dollars pour une démonstration correcte.
Attention :
résoudre quelques millions ou milliards de cas avec un ordinateur
n'est généralement pas une preuve mathématique.
Pour résoudre réellement un de ces problèmes,
il faut démontrer que le résultat fonctionne dans tous les cas concernés,
ou produire un contre-exemple lorsque cela suffit à réfuter la conjecture.
DÉFI 01 / 20
1 000 000 $
P = NP ?
Imagine un problème dont il est très difficile de trouver la solution,
mais extrêmement facile de vérifier une solution une fois qu'on te la donne.
Un gigantesque sudoku en est une bonne analogie :
trouver la solution peut demander énormément de travail,
mais vérifier une grille déjà remplie est beaucoup plus facile.
P vs NP demande essentiellement si tous les problèmes dont une solution
peut être vérifiée rapidement peuvent également être résolus rapidement.
Personne ne sait démontrer si P = NP ou si P ≠ NP.
La majorité des spécialistes pensent que P ≠ NP,
mais une intuition n'est pas une preuve.
Pourquoi ce serait énorme ?
Une résolution pourrait bouleverser l'informatique théorique,
l'optimisation, la planification, la recherche algorithmique
et notre compréhension des limites du calcul.
Récompense : 1 000 000 $
Millennium Prize Problem — Clay Mathematics Institute.
Où envoyer la solution ?
Nulle part directement.
Le Clay Mathematics Institute n'accepte aucune solution envoyée par email ou courrier.
La preuve doit d'abord être publiée dans une publication mathématique qualifiante,
être examinée par la communauté scientifique
et obtenir une reconnaissance générale.
Au moins deux ans doivent ensuite s'écouler avant que le Clay Mathematics Institute
puisse envisager officiellement le prix.
Les nombres premiers — 2, 3, 5, 7, 11, 13… —
semblent apparaître de manière désordonnée parmi les nombres entiers.
Pourtant, leur distribution est profondément reliée
à une fonction mathématique appelée fonction zêta de Riemann.
L'hypothèse affirme que tous les zéros dits « non triviaux »
de cette fonction possèdent une partie réelle exactement égale à 1/2.
D'immenses quantités de zéros ont été vérifiées informatiquement
et respectent la règle.
Mais vérifier beaucoup de cas n'est toujours pas démontrer qu'elle est vraie pour tous.
Pourquoi ce serait énorme ?
Une preuve préciserait profondément notre compréhension
de la répartition des nombres premiers,
qui jouent un rôle central en théorie des nombres.
Récompense : 1 000 000 $
Où envoyer la solution ?
Même procédure que pour tous les problèmes du millénaire :
publication scientifique reconnue d'abord.
Aucune soumission directe au Clay Mathematics Institute.
Ces équations décrivent le mouvement des fluides :
l'eau, l'air et beaucoup d'autres écoulements.
Nous savons les utiliser dans énormément de situations.
Le problème est que personne n'a réussi à démontrer mathématiquement
si, en trois dimensions, des solutions suffisamment régulières
existent toujours pour les conditions prévues par le problème.
Autrement dit :
les équations peuvent-elles produire,
dans certaines circonstances,
une sorte de singularité où certaines quantités deviennent infinies ?
Pourquoi c'est important ?
La turbulence est l'un des phénomènes classiques
les plus difficiles à comprendre mathématiquement.
Récompense : 1 000 000 $
Où envoyer la preuve ?
Pas directement au Clay.
Publication qualifiante → examen par la communauté →
minimum deux ans → éventuelle évaluation du CMI.
La géométrie moderne permet d'étudier des objets
qui vivent dans beaucoup plus de trois dimensions.
Certaines informations géométriques peuvent être décrites
avec des outils issus de l'algèbre et de la topologie.
La conjecture de Hodge affirme,
dans un cadre mathématique précis,
que certaines classes topologiques particulières
proviennent de combinaisons de sous-objets algébriques.
Même pour beaucoup de mathématiciens,
l'énoncé complet nécessite plusieurs années d'études pour être maîtrisé.
Le défi :
établir la conjecture dans le cadre défini officiellement par le Clay Institute,
ou trouver une réfutation admissible.
Récompense : 1 000 000 $
Soumission :
publication mathématique reconnue.
Le CMI ne lit pas les manuscrits non sollicités.
Certaines équations définissent des objets appelés courbes elliptiques.
Ces courbes possèdent des propriétés incroyablement riches
et interviennent en théorie des nombres.
La conjecture relie le nombre de solutions rationnelles indépendantes
d'une courbe elliptique au comportement d'une fonction L
associée à cette courbe près d'un point particulier.
Des quantités impressionnantes de résultats soutiennent cette idée,
mais la conjecture complète reste ouverte.
L'idée extraordinaire :
deux objets mathématiques qui semblent très différents
pourraient contenir exactement la même information fondamentale.
Récompense : 1 000 000 $
Où déposer la réponse ?
Dans une publication mathématique qualifiante,
pas dans la boîte mail du Clay Institute.
La théorie de Yang–Mills se trouve au cœur
d'une grande partie de la physique moderne des particules.
Les expériences et les simulations suggèrent fortement
qu'une théorie quantique de Yang–Mills possède ce que les physiciens
appellent un « gap de masse ».
Le défi Clay demande de construire rigoureusement
la théorie mathématique correspondante
et de démontrer l'existence de ce gap.
Le problème :
la physique semble savoir que le phénomène existe.
Les mathématiques n'ont toujours pas fourni
la démonstration rigoureuse demandée.
Récompense : 1 000 000 $
Procédure :
publication → validation par la communauté →
minimum deux ans → éventuelle décision du Clay Mathematics Institute.
Six problèmes.
Six millions de dollars.
Et aucune solution reconnue à ce jour.
DÉFI 07 / 20
1 000 000 $
➗ La conjecture de Beal
On considère une équation :
Aˣ + Bʸ = Cᶻ
avec A, B, C des entiers positifs
et x, y, z tous strictement supérieurs à 2.
La conjecture affirme que,
si une telle égalité existe,
A, B et C doivent nécessairement avoir
au moins un facteur premier commun.
Elle ressemble un peu au dernier théorème de Fermat,
mais constitue un problème différent.
Récompense officielle : 1 000 000 $
financée par Andrew Beal et administrée par l'American Mathematical Society.
Où envoyer une solution ?
Ne pas envoyer un manuscrit non publié directement à l'AMS.
La solution doit d'abord être publiée
dans une publication mathématique évaluée par les pairs
et respectant les critères du comité.
Après publication, l'auteur peut notifier le comité :
bealprize@ams.org
ou écrire à :
Beal Prize Committee
c/o Executive Director
American Mathematical Society
201 Charles Street
Providence, RI 02904
USA
S'il est pair, divise-le par 2.
S'il est impair, multiplie-le par 3 et ajoute 1.
Puis recommence.
Avec 6 :
6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
La conjecture affirme que,
quel que soit le nombre positif choisi au départ,
la suite finit toujours par atteindre 1.
La règle peut être comprise par un enfant.
Personne ne sait pourtant la démontrer pour tous les nombres.
Aucune récompense institutionnelle d'un million de dollars.
Une ancienne récompense de £1 000 attribuée à Bryan Thwaites
est parfois citée, mais cette page ne la présente pas
comme une prime institutionnelle actuellement garantie.
Si tu trouves une preuve :
il n'existe pas de « bureau Collatz » officiel.
Rédige une démonstration formelle,
fais-la examiner par des spécialistes de théorie des nombres
et soumets-la à une revue mathématique sérieuse.
6 est un nombre parfait :
ses diviseurs propres sont 1, 2 et 3.
1 + 2 + 3 = 6.
28 est également parfait :
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Tous les nombres parfaits connus sont pairs.
Depuis des siècles,
personne ne sait démontrer
qu'un nombre parfait impair existe
ou qu'il est impossible.
Pas de récompense officielle majeure connue.
Solution :
une preuve d'impossibilité ou la découverte rigoureusement vérifiée
d'un nombre parfait impair serait un résultat mathématique majeur.
Publication scientifique indispensable.
DÉFI 12 / 20
Géométrie + nombres entiers
Le cuboïde parfait
Imagine une boîte rectangulaire.
Peut-on construire une boîte dont :
• les trois côtés sont des nombres entiers,
• les trois diagonales des faces sont des nombres entiers,
• et la grande diagonale traversant toute la boîte est également entière ?
Des boîtes remplissant presque toutes ces conditions existent.
Mais aucun cuboïde parfait n'a jamais été trouvé.
Personne n'a non plus démontré qu'ils sont impossibles.
Pas de prix institutionnel majeur.
Une solution pourrait être :
un exemple explicite correctement vérifié,
ou une preuve montrant qu'aucun exemple ne peut exister.
DÉFI 13 / 20
Théorie des nombres
La conjecture d'Erdős–Straus
Pour tout entier n ≥ 2,
peut-on toujours écrire :
4/n = 1/x + 1/y + 1/z
où x, y et z sont des entiers positifs ?
La conjecture affirme que oui.
Elle a été vérifiée informatiquement
pour des quantités gigantesques de nombres,
mais aucune démonstration universelle n'est connue.
Pas de récompense institutionnelle majeure garantie.
Où envoyer ?
Une revue de théorie des nombres,
après vérification indépendante.
DÉFI 14 / 20
Matrices
⬛ La conjecture de Hadamard
Une matrice de Hadamard est un tableau carré
composé uniquement de +1 et −1
dont les lignes sont parfaitement orthogonales entre elles.
La conjecture affirme qu'une telle matrice existe
pour chaque taille divisible par 4.
On sait en construire pour énormément de tailles.
Mais personne n'a réussi à démontrer
que cela fonctionne pour absolument tous les multiples de 4.
Pas de prime institutionnelle majeure connue.
Reconnaissance :
publication dans une revue de combinatoire,
algèbre ou théorie des matrices.
Certaines transformations définies par des polynômes
possèdent un déterminant jacobien constant non nul.
La conjecture affirme essentiellement
qu'une telle transformation doit alors posséder
un inverse qui est lui-même polynomial.
Cela semble être une propriété relativement naturelle.
Elle résiste pourtant depuis 1939,
même dans des cas qui paraissent modestes.
Aucune prime institutionnelle majeure garantie.
Où soumettre ?
À des revues d'algèbre ou de géométrie algébrique.
Ce problème a connu beaucoup de fausses preuves :
une vérification extrêmement rigoureuse est indispensable.
DÉFI 16 / 20
Théorie des graphes
️ La conjecture de Hadwiger
Un graphe est un ensemble de points reliés entre eux par des arêtes.
La coloration d'un graphe consiste à donner des couleurs aux sommets
de manière que deux sommets reliés n'aient pas la même couleur.
La conjecture de Hadwiger relie
le nombre minimal de couleurs nécessaires
à l'existence de certaines structures appelées mineurs complets.
Elle constitue l'un des grands problèmes classiques
de la théorie des graphes.
Pas de récompense officielle d'un million.
Reconnaissance :
publication dans une revue spécialisée en combinatoire
ou théorie des graphes.
DÉFI 17 / 20
Le coureur solitaire
La Lonely Runner Conjecture
Imagine plusieurs coureurs tournant éternellement
autour d'une piste circulaire,
chacun à une vitesse constante différente.
La conjecture affirme que chaque coureur
finira par se retrouver « suffisamment seul » :
à une distance minimale précise de tous les autres.
Le problème peut être raconté en quelques secondes,
mais sa version générale reste non résolue.
Pas de prix institutionnel majeur garanti.
Solution :
publication en approximation diophantienne,
combinatoire ou domaine mathématique correspondant.
DÉFI 18 / 20
Un coloriage impossible ?
Le nombre chromatique du plan
Imagine que tu dois colorier chaque point d'un plan infini.
Deux points situés exactement à une unité de distance
n'ont jamais le droit d'avoir la même couleur.
Combien de couleurs faut-il au minimum ?
5 ? 6 ? 7 ?
On sait aujourd'hui que la réponse est comprise
entre 5 et 7 inclus.
Mais personne ne connaît encore le nombre exact.
Pas de prix institutionnel majeur garanti.
Une solution :
soit construire un coloriage améliorant la borne supérieure,
soit démontrer qu'un certain nombre de couleurs est impossible,
jusqu'à déterminer la valeur exacte.
DÉFI 19 / 20
Théorie des nombres transcendante
♾️ La conjecture de Schanuel
Certains nombres ne peuvent être solution
d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers.
On les appelle des nombres transcendants.
π et e en sont des exemples célèbres.
La conjecture de Schanuel propose une règle extrêmement puissante
concernant l'indépendance algébrique
des nombres et de leurs exponentielles.
Si elle était démontrée,
elle entraînerait automatiquement
de nombreux résultats actuellement inconnus.
Pas de prime institutionnelle majeure.
Où publier ?
Dans une revue de théorie des nombres
ou de théorie de la transcendance.
DÉFI 20 / 20
Paul Erdős
Les problèmes à récompense d'Erdős
Le mathématicien Paul Erdős avait une habitude extraordinaire :
il proposait constamment de nouveaux problèmes
et plaçait parfois une récompense personnelle dessus.
Certaines récompenses étaient symboliques :
quelques dollars.
D'autres atteignaient des centaines
ou plusieurs milliers de dollars,
le montant indiquant souvent à quel point Erdős jugeait le problème difficile.
De nombreux problèmes ont depuis été résolus,
mais certains restent ouverts.
Récompenses variables.
La Combinatorics Foundation indique vouloir continuer,
dans certaines limites,
à honorer des récompenses d'Erdős correctement documentées.
Comment réclamer une récompense Erdős ?
La solution doit au minimum avoir été publiée
dans une revue mathématique réputée
et évaluée par les pairs.
La récompense originale doit également être documentée
dans une publication d'Erdős.
Une fois ces conditions remplies,
la Combinatorics Foundation indique de contacter :