Exploration Interactive du Nombre d'Or par Grok

Le Nombre d'Or : Exploration Interactive

Le Nombre d'Or (φ) : Un Voyage Mathématique et Visuel

Bienvenue dans cette exploration interactive du nombre d'or, un nombre irrationnel fascinant approximativement égal à 1.6180339887. Défini comme φ = (1 + √5)/2, il apparaît dans la nature, l'art, l'architecture et bien plus. Cette page combine explications détaillées, calculs précis et visualisations dynamiques pour une expérience utile et agréable. Utilisez les outils interactifs pour expérimenter !

1. Définition et Propriétés Mathématiques

Le nombre d'or φ résout l'équation quadratique x² - x - 1 = 0. Ses racines sont φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 et son conjugué ψ = (1 - √5)/2 ≈ -0.618.

Propriétés clés :

φ = 1 + 1/φ (propriété auto-similaire)
φ^n = F(n)φ + F(n-1), où F est la suite de Fibonacci
Il est irrationnel, prouvé par contradiction via fractions continues.

Calcul Direct de φ

2. Lien avec la Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est définie par F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) pour n>1. Le rapport F(n+1)/F(n) converge vers φ.

Nombre de termes (2-50) :

Observez comment le rapport se rapproche de φ au fur et à mesure des itérations. Mathématiquement, lim (n→∞) F(n+1)/F(n) = φ, prouvé via la formule fermée de Binet : F(n) = (φ^n - ψ^n)/√5.

3. Visualisations : Rectangle et Spirale d'Or

Le rectangle d'or a des côtés en ratio φ. En le subdivisant, on obtient une spirale logarithmique approximée par des quarts de cercle.

Nombre d'itérations (1-20) :

Cette visualisation montre la croissance auto-similaire : chaque rectangle plus petit est une réduction par 1/φ du précédent. Dans la nature, cela apparaît dans les coquilles de nautile ou les galaxies.

4. Exemples dans la Nature, l'Art et l'Architecture

Le nombre d'or est omniprésent :

Nature : Phyllotaxie des plantes (ex. : tournesol avec angles de 360°/φ ≈ 222.5° pour une distribution optimale des graines). Calculez : Angle = 360 / φ ≈ °.
Art : Dans la Mona Lisa de Léonard de Vinci, les proportions du visage suivent φ. Exemple : Hauteur du visage / largeur ≈ φ.
Architecture : Le Parthénon utilise des rectangles d'or. Dimensions : Largeur / hauteur ≈ φ.
Autres : En musique, des échelles basées sur φ pour des harmonies plaisantes ; en finance, modèles de croissance.