Vérificateur multi-bases 3-6-9 — Racine numérique par GPT 4

Ce programme interactif permet de tester la fameuse « règle 3-6-9 » attribuée à Tesla, mais dans toutes les bases numériques de 2 à 36. Vous entrez un nombre, l’outil le triple, puis réduit ses chiffres dans la base choisie jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre : c’est la racine numérique. Vous pouvez vérifier un nombre précis ou analyser une plage entière (mode batch). Ce vérificateur met en évidence une loi mathématique simple mais fascinante : selon la base, seuls certains chiffres finaux sont possibles. C’est à la fois un outil pédagogique pour explorer les congruences et une curiosité ludique qui montre comment les nombres cachent des motifs universels.

Vérificateur 3·n & Racine Numérique — Multi-bases

Vérificateur multi-bases — 3 × n & racine numérique

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Idée et théorie

Ce vérificateur explore la "loi 3·n" : pour un entier n dans une base b (de 2 à 36), on calcule 3·n, puis on réduit numériquement ses chiffres (dans la base b) jusqu’à obtenir un seul chiffre : c’est la racine numérique (digital root) en base b, notée dr_b(3·n).

Pourquoi ça marche ? En base b, la racine numérique d’un entier x > 0 est équivalente à x mod (b−1), avec la convention que si le reste est 0, on prend b−1 (le "9" de la base). Ainsi, dr_b(3·n) = 3n mod (b−1) (avec la même règle pour 0). L'ensemble des valeurs possibles dépend du PGCD de 3 et m = b−1 :

Si PGCD(3, m) = 3 (i.e., 3 divise b−1, comme en base 10 où m=9) : 3n mod m ne prend que des valeurs multiples de 3. Donc, les racines numériques possibles sont 3, 6, ..., m (en valeur décimale, mais affichées en chiffres de la base b).
Si PGCD(3, m) = 1 (3 est inversible modulo m) : 3n mod m peut être n'importe quel reste. Donc, toutes les racines de 1 à m sont possibles — pas de restriction "magique" comme 3-6-9.
Cas spécial base 2 : m=1, donc pour tout n ≥ 1, dr_b(3·n) = 1 (seul chiffre non nul).
Exception pour n=0 : dr_b(0) = 0, qui n'entre pas dans l'ensemble attendu (pour n ≥ 1).

Utilisez le mode "Vérifier un nombre" pour voir les étapes détaillées de réduction pour un n spécifique. Le mode "batch" analyse une plage de n pour vérifier la distribution et détecter toute anomalie (théoriquement impossible si le code est correct).

Vérifier un nombre (mode détaillé)

Base (2–36)

Nombre n (dans la base choisie)

Mode batch (analyse de plage)

Les bornes sont saisies dans la base sélectionnée (ex: en base 16, "A" = 10 décimal). Limite : 200 000 valeurs max pour éviter les lenteurs.

Début (≥ 0)

Fin (inclus)

Exemple d'utilisation et interprétation

Base 10 (classique) : Pour n=1, 3·1=3, dr=3 (multiple de 3). Pour n=2, 3·2=6, dr=6. Pour n=3, 9, dr=9. Pour n=4, 12 → 1+2=3, etc. Seules 3,6,9 apparaissent comme racines pour 3·n.

Base 16 : m=15, PGCD(3,15)=3, donc racines multiples de 3 : 3,6,9,C (12),F (15).

Base 7 : m=6, PGCD(3,6)=3, racines : 3,6.

Base 5 : m=4, PGCD(3,4)=1, toutes les racines 1,2,3,4 possibles.

Si une "anomalie" apparaît (racine non attendue), c'est une erreur de calcul — mais la théorie garantit que ça n'arrive pas pour n ≥ 1. Le batch montre la répartition réelle vs attendue pour valider la propriété sur une plage.

Date de dernière mise à jour : 09/09/2025